واقعا عالی است، هافمن را می‌گویم، دقیق و دیوانه! تصور کنید تعریفی از ترانهاده‌ی یک تبدیلِ خطی ارائه می‌دهد که اولش کاملا برای‌تان نامفهوم است، و بعد اثبات می‌کند که این کار در پایه‌ی ماتریس‌ها می‌شود تعویضِ سطر و ستون. سه چهار باری که قبل از این کتاب با جبرِ خطی سر و کار داشتم همه و همه از ماتریس‌ها حرف می‌زدند و به ندرت به تبدیلِ خطی و بردار به عنوانِ یک شی مجرد نگاه می‌کرند، من هم همیشه عذاب می‌کشیدم چون می‌دانستم که بردار یک مفهومِ زیبای مجرد است که وقتی در پایه‌ی ماتریس بیانش می‌کنید بخشِ اعظمِ زیبایی‌اش از بین می‌رود، اما این کتاب همین فرمِ مجرد را در نظر گرفته و با آن کار می‌کند و فقط در مواقعِ لزوم به پایه‌ی یک مختصات رجوع می‌کند (به همین خاطر هم تجریدِ ترانهاده- که در پایه‌ی ماتریس کاملا بدیهی است- این قدر مشکل می‌شود)

مثلا ضربِ داخلی برای هر برداری تعریف نمی‌شود بلکه بردار باید روی میدانِ حقیقی ساخته شده باشد، ضربِ ماتریسِ سطری در ستونی که به عنوانِ ضربِ داخلی شناخته می‌شود صحیح نیست بلکه این عمل تنها یک تابعک خطی (linear functional ) ایجاد می‌کند (در بعضی کتابها functional  را «تابعی» ترجمه می‌کنند)

در موردِ زیرفضاهای پایا (ناوردا) که دیگر غوغا کرده! واقعا تا حالا این قدر بحثِ ویژه بردار و ویژه مقدار را زیبا ندیده بودم. اثبات‌هایش را می‌توانم کاملا تصور کنم، هیچ وقت بحثِ چند جمله‌ای مینیمال را نفهیمده بودم اما حالا می‌توانم تصورش کنم. دترمینان را! حالا بیشتر می‌توانم دترمینان و ویژگی‌های عجیب و غریبش را بفهمم، دترمینان یک فرم چند خطی متناوب است که می‌توان با آن چیزهای زیادی راجع به تبدیلِ خطی فهمید. گرچه هنوز خوب نفهیمده‌ام که اصلا چرا ایده‌ی دترمینان را زده اند ولی اطلاعاتی بودند که واقعا برایم تازگی داشت. در لابه‌لای همین تعریفها بود که تعریف کاملا جبری تانسور‌ها را هم ارائه داد، البته خبری از آن شهودِ هندسی نیست، ولی از لحاظِ جبری تانسورها تبدیلهای چندخطی هستند از فضای برداری (مولفه‌های هموردا) و فضای دوگان (مولفه‌های پادرودا) به میدان (البته میدان به مفهومِ ریاضی نه فیزیکی)

حالا می‌خواهم وارد بحثی شود که مدتها انتظارش را می‌کشیدم: فرمهای گویا و ژردان (یا فرم جردن، Jordan form) چرا بعضی ماتریسها قطری شدنی نیستند؟ ماتریس های جردن دقیقا چه کار می‌کند؟ تعبیری هندسی آنها چیست؟ تحلیلِ دقیق‌ترِ تبدیل‌های خطی چیست؟

پ.ن1: کتابِ توپولوژی مانکرز را خریدم! ارزشِ خریدن داشت اما نظریه‌ی مجموعه‌های یِخ و هرباچک را هر چه گشتم نیافتم، حتی کتاب‌فروشی علامه هم نداشت، وقتی برگشتم تهران باید آن را از انقلاب بجویم (جالب این که حتی کتابخانه‌ی مرکزی‌مان هم آن را ندارد)

پ.ن2: با تقریبِ خوبی در خانه اینترنت ندارم، این پست را هم با دایل آپ به وسیله‌ی لپتاپِ خواهر ارسال می‌کنم، اگر دیر به دیر سر می‌زنم شرمنده.

پ.ن3: با پسرخاله‌ام که حرف می‌زدیم به این نتیجه رسیدیم که کتابهای سخت و مفهومی را باید چند دور خواند، دورِ اول سرسری و تنها این که کلیت مفاهیم را بگیری و بدانی داستان از کجا تا به کجاست، دورهای بعدی دقیق و موشکفانه (البته وقتی می‌گویم سرسری منظورم روخوانی نیست - با وجودِ این که هافمن و هرشتاین را دقیقا همین‌طوری خواندم ولی بخشهایی از همین‌ها را پنج شش بار خوانده‌ام تا بفهمم- بلکه منظورم درک مفاهیم بدون تلاشِ اضافی مثل تمرین حل کردن یا حفظ کردنِ اثبات‌هاست تنها در همین حد که ایده‌ها را بفهمید، ادوارِ بعدی انشالله دقیقتر می‌شود)

پ.ن4: هافمن کتابی نیست که به شما جبرِ خطی یاد بدهد، برای خواندنِ هافمن باید جبرِ خطی را بلد باشید تا یک دور هم با نگاهِ هافمن آن را ببینید و لذت ببرید و نگاه‌تان دقیق شود، درست مثلِ درس دادنِ دکتر خرمی! (البته پیشنیازهایی از جبرِ مجرد و بحثِ توابع هم لازم است)

پ.ن5: یاد دکتر خرمی افتادم، چه قدر دلم برایش تنگ شده، برای درس دادن‌های دقیق‌اش، برای پاسخ‌های موشکافانه و تحلیل‌های پایه‌ای‌اش.

پ.ن6: ابتدای ترم که قیافه‌ی استادِ کنترل دیجیتال را دیدم فهمیدم این درس را می‌افتم. و حالا به فهمِ خودم مباهات می‌کنم.

پ.ن.ش.م: بشمار، چهار

ریاضیات چیست؟

حتی بسیاری از ریاضی‌دانانِ برجسته هم از پاسخ به این پرسشِ به ظاهر ساده طفره می‌روند. اندک ریاضی‌دانانی هم که کوشیده‌اند پاسخِ این پرسش را پیدا کنند، در مناقشه‌ی جدی با هم هستند.

با بچه‌های ریاضی که حرف می‌زدم چیزِ جالبی راجع به ریاضیات می‌گفتند، یکی از مهمترین کارهایی که ریاضیات انجام می‌دهد تجرید است: فرض کنید یک مجموعه از اشیا داریم، مثلِ اعدادِ صحیح، اعدادِ صحیح ویژگی‌های بسیار زیادی دارند که وقتی می‌خواهید قضیه‌ای را راجع به آن اثبات کنید، شمارِ زیادِ این ویژگی‌ها دست و پاگیر می‌شوند و شما نمی‌دانید دقیقا از کدام ویژگی استفاده کنید، بنا بر این تعدادِ اندکی ویژگی انتخاب می‌کنید، مثلا جمعِ اعدادِ صحیح یک عددِ صحیح است (بسته بودن) ، جمع شرکت پذیر است، عضو خنثی جمع وجود دارد (صفر) و هر عضوی یک معکوسِ جمعی دارد (هر عضوی یک نظیر منفی دارد)، در نتیجه تحتِ جمع اعدادِ صحیح یک گروه تشکیل می‌دهند، گروه اما ساختاری مجرد است که خودمان با تعریف کردنِ چند ویژگی ساخته‌ایم و مجرد از اعدادِ صحیح است، این ساختارِ مجرد البته کلی قضایا دارد و می‌توان همه‌ی قضایایی را که برای گروه‌ها اثبات می‌شود برای اعدادِ صحیحِ تحتِ جمع هم صادق دانست و راجع به ساختارِ اعدادِ صحیح اطلاعات کسب کرد، اما اعدادِ صحیح غیر از اینها ویژگی‌های دیگری هم دارند، با اضافه کردنِ ضربی که معکوسِ آن وجود ندارد ولی شرکت پذیر و بخش پذیر است یک حلقه خواهیم داشت، حلقه هم موجودی مجرد است و کاملا جدا از اعدادِ صحیح که قضایای بیشتری نسبت به گروه‌ها دارد (ساختارش غنی‌تر است) و همه‌ی قضایای آن را می‌توان در موردِ اعدادِ صحیح صادق دانست و راجع به اعدادِ صحیح به اطلاعات‌مان افزود. اما غیر از ضرب و جمع، اعدادِ صحیح ویژگی ترتیب هم دارند و...... همین‌طوری که ویژگی‌ها را اضافه می‌کنید ساختارهای مجردِ غنی‌تری شکل می‌گیرد که با درکِ آنها می‌توان درکمان را راجع به اعدادِ صحیح افزایش داد.

ما در تجرید به مجموعه‌ای از دستگاه‌های مجرد دست پیدا می‌کنیم که ساختاری بسیار غنی دارند، مثلِ جبرِ خطی، گروه‌ها یا حلقه و میدان و.... به بسیاری از موجوداتِ ریاضی-فیزیکی می‌توان در قالب و بسترِ این ساختارهای مجرد نگاه کرد، این مجردسازی ها بستری فراهم می‌کند که بتوانید با کنار زدنِ ویژگی‌های اضافی، عمیق‌تر از هر کسِ دیگر به درونِ ساختارهای شناخته شده (مثلِ اعدادِ صحیح) نگاه کنید.

من همه‌ی ریاضیات را ندیده‌ام اما احساس می‌کنم باقی ریاضیات با این مجردسازی متفاوت است. در تجرید شما با بخشی از ویژگی‌های ساختارهای شناخته‌شده یک دستگاهِ مجرد می‌سازید و سعی می‌کنید با آن دستگاهِ مجرد آن ساختارها را مشاهده کنید، ابتدای تجرید با تعریف است، یعنی چند تعریفِ اولیه انجام می‌دهید و با آن تعاریف دستگاهِ جبری را می‌سازید. اما بعضی از دستگاه‌ها (فی‌المثل هندسه‌ی اقلیدسی یا نظریه مجموعه‌ها) از یک نظامِ اصول موضوعه‌ای پیروی می‌کنند. در موردِ اینها حرفی نمی‌زنم چون نخوانده‌ام اما احساسم این است که شناختِ اینها راهی غیر از تجرید می‌طلبد (فکر می‌کنم این نظام‌هایی که به جای تجرید از اصولِ موضوعه صحبت می‌کنند در یک مورد اشتراک دارند: نسبت به همگی آنها شهودِ بسیار بسیار قوی داریم، اما در موردِ دستگاه‌های مجرد، شهودی نیست یا اگر هست بسیار فرار و ظریف است)

نکته‌ی جالبی در تجرید نهفته است، وقتی شما ساختاری مجرد ساختید، می‌بینید که خیلی چیزها ذیل این ساختارهای مجرد قابل بررسی‌اند (علی رغمِ این که تجرید برای چیزهای خاصی به کار رفته بود) مثلا جبرِ خطی برای شناختِ بردارهای فیزیکی و معادلاتِ خطی تجرید شده اما بسیاری چیزهای دیگر می‌توانند بردار باشند و به عنوانِ بردار با آنها رفتار کرد. این عجیب است، مثلِ این که کلِ جهان از مجموعه‌ای از اصولِ مشترک پیروی می‌کنند، انگار نه انگار که این دستگاه‌ها را «ما» تجرید کرده‌ایم، آنقدر تکرار شونده و آنقدر منظم هستند که گویی بوده و یافته‌ایم. نمی‌دانم باید بیشتر ریاضی بخوانم، نظریه مجموعه‌ها، توپولوژی و آنالیز در دستورِ کاراند.

پ.ن1: می‌خواستم راجع به ماهیت ریاضی حرف بزنم، افلاطونی و منقطگرایی، شهود گرایی و رئالیسم، اما مطلب به اینجا کشید.

پ.ن2:اگر این پروژه‌ی کوفتی SD تمام شود فرار می‌کنم به خانه، آخ که ماهِ رمضان در خانه چه خوب است.

پ.ن3: رصد هم نصیب نشد!

پ.ن.ش.م: بشمار؛ پنج

این روزهای امتحاناتِ این ترم واقعا مزخرف بودند! مزخرفترین حالتِ ممکن! درسها کوچکترین جذابیت و کششی برایم ندارند، الان که این متن را می‌نویسم ساعت 4:45 صبح است و کل شب را بیدار ماندم تا برای امتحان 9 صبح امروز بخوانم اما نشد، حتی نتوانتم یک صفحه را درست و حسابی تحمل کنم، احتمالِ پاس شدنم با دقت بالایی صفر است!

اگر این شب تا صبح جبرِ خطی خوانده بودم حالا کلی چیز بارم بود، دریغ که عذابِ وجدانِ این امتحاناتِ مزخرف نمی‌گذارد چیزی که خودم دوست دارم را بخوانم، امیدوارم این لیسانسِ کوفتی برق هر چه سریعتر تمام شود.

پ.ن فوتبالی: از این به بعد هر کسی گفت که «فوتبال نود دقیقه‌است» بزنید چهار استخوانِ معروف را توی دهانش بشکنید تا عبرتِ سایرین بشود!

پ.ن فوتبالی2: بردِ اصلی ازآن بوفه‌ی خوابگاه بود.

پ.ن.ش.م:بشمار؛شش